Was ist hesse matrix?

Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix (auch Hesse-Determinante oder Hesse-Form genannt) ist ein mathematisches Werkzeug, das in der mehrdimensionalen Analysis verwendet wird. Sie ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen einer skalarwertigen Funktion von mehreren Variablen.

Definition:

Sei f(x₁, x₂, ..., xₙ) eine Funktion, die von n Variablen abhängt und zweimal stetig differenzierbar ist. Die Hesse-Matrix H(f)(x) von f an der Stelle x ist definiert als:

H(f)(x) =
[ ∂²f/∂x₁²   ∂²f/∂x₁∂x₂   ...   ∂²f/∂x₁∂xₙ ]
[ ∂²f/∂x₂∂x₁   ∂²f/∂x₂²   ...   ∂²f/∂x₂∂xₙ ]
[    ...         ...        ...       ...    ]
[ ∂²f/∂xₙ∂x₁   ∂²f/∂xₙ∂x₂   ...   ∂²f/∂xₙ² ]

Dabei ist ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ die zweite partielle Ableitung von f nach xᵢ und xⱼ.

Eigenschaften:

• Symmetrie: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, ist die Hesse-Matrix symmetrisch (Satz von Schwarz: ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂²f/∂xⱼ∂xᵢ).
• Determinante: Die Determinante der Hesse-Matrix wird als Hesse-Determinante bezeichnet.

Anwendungen:

• Klassifizierung kritischer Punkte: Die Hesse-Matrix wird verwendet, um lokale Minima, Maxima und Sattelpunkte einer Funktion mehrerer Variablen zu identifizieren. Die Eigenwerte der Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt geben Auskunft über die Krümmung der Funktion in der Nähe dieses Punktes.
  • Positive Definitheit der Hesse-Matrix impliziert ein lokales Minimum.
  • Negative Definitheit der Hesse-Matrix impliziert ein lokales Maximum.
  • Indefinitheit der Hesse-Matrix impliziert einen Sattelpunkt.
• Konvexität: Die Hesse-Matrix kann verwendet werden, um die Konvexität oder Konkavität einer Funktion zu bestimmen. Eine Funktion ist konvex, wenn ihre Hesse-Matrix positiv semidefinit ist.
• Newton-Verfahren: Die Hesse-Matrix spielt eine wichtige Rolle im Newton-Verfahren zur Optimierung von Funktionen.

Wichtige Themen:

• Partielle%20Ableitung
• Kritische%20Punkte
• Lokale%20Extrema
• Eigenwerte
• Konvexität
• Newton-Verfahren