Hesse-Matrix
Die Hesse-Matrix (auch Hesse-Determinante oder Hesse-Form genannt) ist ein mathematisches Werkzeug, das in der mehrdimensionalen Analysis verwendet wird. Sie ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen einer skalarwertigen Funktion von mehreren Variablen.
Definition:
Sei f(x₁, x₂, ..., xₙ) eine Funktion, die von n Variablen abhängt und zweimal stetig differenzierbar ist. Die Hesse-Matrix H(f)(x) von f an der Stelle x ist definiert als:
H(f)(x) =
[ ∂²f/∂x₁² ∂²f/∂x₁∂x₂ ... ∂²f/∂x₁∂xₙ ]
[ ∂²f/∂x₂∂x₁ ∂²f/∂x₂² ... ∂²f/∂x₂∂xₙ ]
[ ... ... ... ... ]
[ ∂²f/∂xₙ∂x₁ ∂²f/∂xₙ∂x₂ ... ∂²f/∂xₙ² ]
Dabei ist ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ die zweite partielle Ableitung von f nach xᵢ und xⱼ.
Eigenschaften:
- Symmetrie: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, ist die Hesse-Matrix symmetrisch (Satz von Schwarz: ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂²f/∂xⱼ∂xᵢ).
- Determinante: Die Determinante der Hesse-Matrix wird als Hesse-Determinante bezeichnet.
Anwendungen:
- Klassifizierung kritischer Punkte: Die Hesse-Matrix wird verwendet, um lokale Minima, Maxima und Sattelpunkte einer Funktion mehrerer Variablen zu identifizieren. Die Eigenwerte der Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt geben Auskunft über die Krümmung der Funktion in der Nähe dieses Punktes.
- Positive Definitheit der Hesse-Matrix impliziert ein lokales Minimum.
- Negative Definitheit der Hesse-Matrix impliziert ein lokales Maximum.
- Indefinitheit der Hesse-Matrix impliziert einen Sattelpunkt.
- Konvexität: Die Hesse-Matrix kann verwendet werden, um die Konvexität oder Konkavität einer Funktion zu bestimmen. Eine Funktion ist konvex, wenn ihre Hesse-Matrix positiv semidefinit ist.
- Newton-Verfahren: Die Hesse-Matrix spielt eine wichtige Rolle im Newton-Verfahren zur Optimierung von Funktionen.
Wichtige Themen: